一、代數式與有理式

1、用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫做代數式。單獨的一個數或字母也是代數式。

2、整式和分式統稱為有理式。

3、含有加、減、乘、除、乘方運算的代數式叫做有理式。

二、整式和分式

1、沒有除法運算或雖有除法運算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

2、有除法運算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

三、單項式與多項式

1、沒有加減運算的整式叫做單項式。(數字與字母的積---包括單獨的一個數或字母)

2、幾個單項式的和，叫做多項式。其中每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項。

說明：①根據除式中有否字母，將整式和分式區別開;根據整式中有否加減運算，把單項式、多項式區分開。②進行代數式分類時，是以所給的代數式為對象，而非以變形后的代數式為對象。劃分代數式類別時，是從外形來看。

單項式

1、都是數字與字母的乘積的代數式叫做單項式。2、單項式的數字因數叫做單項式的系數。3、單項式中所有字母的指數和叫做單項式的次數。4、單獨一個數或一個字母也是單項式。5、只含有字母因式的單項式的系數是1或―1。6、單獨的一個數字是單項式，它的系數是它本身。7、單獨的一個非零常數的次數是0。8、單項式中只能含有乘法或乘方運算，而不能含有加、減等其他運算。

9、單項式的系數包括它前面的符號。10、單項式的系數是帶分數時，應化成假分數。11、單項式的系數是1或―1時，通常省略數字“1”。12、單項式的次數僅與字母有關，與單項式的系數無關。

多項式

1、幾個單項式的和叫做多項式。2、多項式中的每一個單項式叫做多項式的項。3、多項式中不含字母的項叫做常數項。4、一個多項式有幾項，就叫做幾項式。5、多項式的每一項都包括項前面的符號。

6、多項式沒有系數的概念，但有次數的概念。7、多項式中次數最高的項的次數，叫做這個多項式的次數。

整式

1、單項式和多項式統稱為整式。2、單項式或多項式都是整式。3、整式不一定是單項式。4、整式不一定是多項式。5、分母中含有字母的代數式不是整式;而是今后將要學習的分式。

整式的應用經典題型精選

某服裝廠生產一種西裝和領帶，西裝每套定價200元.領帶每條定價40元。廠方在開展促銷活動期間，向客戶提供兩種優惠方案：①西裝和領帶都按定價的90%付款;②買一套西裝送一條領帶°現某客戶要到該服裝廠購買x套西裝(x≥1)，領帶條數是西裝套數的4倍多5。(1)若該客戶按方案①購買，需付款________元;(用含x的代數式表示)若該客戶按方案②購買，需付款________元。(用含x的代數式表示)(2)若x=10，通過計算說明此時按哪種方案購買較為合算?

解：(1)(324x+180)元，(320x+200)元;(2)當x=10時，324x+180=3420(元)，320x+200=3400(元)而3400<3420，所以方案②合算。

例題2、

暑假期間，學校組織學生去某景點游玩，甲旅行社說：“如果帶隊的一名老師購買全票，則學生享受半價優惠”;乙旅行社說：“所有人按全票價的六折優惠”.已知全票價為a元，學生有x人，帶隊老師有1人.(1)試用含a和x的式子表示甲、乙旅行社的收費;(2)若有30名學生參加本次活動，請你為他們選擇一家更優惠的旅行社.

例題3

、全世界每年都有大量的土地被沙漠吞沒，改造沙漠，保護土地資源已成為一項十分緊迫的任務.某地區沙漠原有面積是100萬平方千米，為了解該地區沙漠面積的變化情況，進行了連續3年的觀察，并將每年年底的觀察結果記錄如下表：

預計該地區沙漠的面積將繼續按此趨勢擴大.

(1)如果不采取措施，那么到第m年年底，該地區沙漠面積將變為多少萬平方千米?

(2)如果第5年后采取措施，每年改造0.8萬平方千米沙漠(沙漠面積的擴大趨勢不變)，那么到第n年(n>5)年年底該地區沙漠的面積為多少萬平方千米?(3)在(2)的條件下，第90年年底，該地區沙漠面積占原有沙漠面積的多少?

解：(1)第m年年底的沙漠面積為100.2+0.2(m-1)=(0.2m+100)萬平方千米.(2)第n年年底的沙漠面積為0.2n+100-0.8·(n-5)=(104-0.6n)萬平方千米.(3)在(2)的條件下，當n=90時，104-0.6n=50，50÷100=0.5.即第90年年底，該地區沙漠面積占原有沙漠面積的0.5.

例題4、

小明、小強從同一地點A同時反向(小明按逆時針方向，小強按順時針方向)繞環形跑道跑步，小明的速度為4a 米/秒，小強的速度為5a 米/秒(a>0)，經過t秒兩人第一次相遇.⑴ 這條環形跑道的周長為多少米?⑵ 兩人第一次相遇后，小明、小強繼續按原方向繞跑道跑步. ① 小明又經過幾秒再次到達A點?② 在①中當小明到達A點時，小強是否已經過A點?如果已經過，則小強經過A點后又走了多少米?如果沒有經過，請說明理由.

例題5

、A，B兩家公司都準備向社會招聘人才，兩家公司條件基本相同，只有工資待遇有如下差異：A公司年薪20萬元，每年加工齡工資4 000元;B公司半年薪10萬元，每半年加工齡工資2 000元，問：A，B兩家公司第n年的年薪分別是多少?從經濟角度考慮，選擇哪家公司有利?

解：A公司第n年的年薪為：200 000+4 000(n-1)=(196 000+4 000n)元，B公司第n年的年薪為：100 000×2+2(n-1)×2 000+2 000=(198 000+4 000n)元，因為198 000+4 000n>196 000+4 000n，所以從經濟角度考慮，選B公司有利.

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